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自然数の構成

自然数は基本的な数である。 そんな数を、集合を用いて一から構成してみる。

目次

  1. 準備
  2. 自然数の構成

まず、集合の復習をする。

集合

集合を \( A=\{1, 2\} \) のように表す。 このとき、 \( 1 \) や \( 2 \) を元といい、 \[ 1 \in A, 2 \in A \] のように表す。そして、\( 1 \) は \( A \) に属するという。

元のない集合 \( \{ \} \) を空集合といい、 \( \phi \) と表す。

例１

集合を元とする集合もある。 \[ \{ \phi, \{ 1 \}, \{ 1, 2 \} \} \]

例２

次のような集合も考えられる。 \[ \{ 1, \phi, \{ 2 \}, \{ 2, \{ 1 \} \} \} \]

例３

次のように、いくらでも集合を作ることができる。 \[ \phi, \{ \phi \}, \{\{ \phi \}\}, \{\{\{ \phi \}\}\}, \cdots \]

部分集合

２つの集合 \( A=\{ 1, 2 \}, B=\{ 0, 1, 2, 3 \} \) を考える。
A の元は、すべて B の元になっている。 このとき、A は B の部分集合という。そして、 \[ A \subset B \] のように表す。

A の元は、すべて A の元になっているから、 \[ A \subset A \] となる。

さて、 \( A \subset B \) であるとは、次のようになっているときである。 \[ \forall x \in A \to x \in B \]

ここで、すべての集合 A に対して、 \( \phi \subset A \) となっていることを示す。 \[ \forall x \in \phi \to x \in A \] が正しければよいが、仮定が偽だから正しいことがいえる。

例１

\( A=\{ 1, 2 \} \) の部分集合を、すべて求める。 \[ \phi, \{ 1 \}, \{ 2 \}, A \] の４つである。 さて、A の部分集合は、1 が属するか属さないかで ２通り、2 が属するか属さないかで ２通り。 だから、全部で \( 2 \times 2 = 2^2 \) 個あるのがわかる。

集合 A のすべての部分集合を元とする集合を A のべき集合といい \[ P(A) \] と表す。

例２

例１の場合、 \[ P(A) = \{ \phi, \{ 1 \}, \{ 2 \}, A \} \] と表せる。

例３

空集合 \( \phi \) のべき集合を求める。 \( \phi \)　の部分集合は \( \phi \) だけである。 よって、 \[ P(\phi)=\{ \phi \} \] 次に、\( P(\phi) \) のべき集合を求める \[ P(P(\phi)) = \{ \phi, \{ \phi \} \} \] 同様にして、 \[ P(P(P(\phi))) = \{ \phi, \{ \phi \}, \{\{ \phi \}\}, P(\phi) \} \]

まず、 \[ 0 = \phi, 1 = P(\phi), 2 = P(P(\phi)) \] とする。このとき、次がいえる。 \[ 1 = 0 \cup \{ 0 \} \] なぜなら、右辺が \[ 0 \cup \{ 0 \} = \{ \} \cup \{ \phi \} = \{ \phi \} = P(\phi) =1 \] となるからである。同様に次がいえる。 \[ 2 = 1 \cup \{ 1 \} \] なぜなら、右辺が \[ 1 \cup \{ 1 \} = \{ \phi \} \cup \{\{ \phi \}\} = \{ \phi, \{\phi\} \} = P(P(\phi)) =2 \] となるからである。 さらに次がいえる。 \[ 1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{ \} \cup \{ 0 \} = \{ 0 \} \] \[ 2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0 \} \cup \{ 1 \} = \{ 0, 1 \} \] これより、３以上の自然数は \[ n + 1 = n \cup \{ n \} \] とすればよい。よって、 \[ 3 = 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0, 1 \} \cup \{ 2 \} = \{ 0, 1, 2 \} \] \[ 4 = 3 \cup \{ 3 \} = \{ 0, 1, 2 \} \cup \{ 3 \} = \{ 0, 1, 2, 3 \} \] \[ 5 = 4 \cup \{ 4 \} = \{ 0, 1, 2, 3 \} \cup \{ 4 \} = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \] \[ \vdots \] このようにして、自然数ができた。


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